Die Reimanns Stream

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On 23.06.2020
Last modified:23.06.2020

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Dabei einen festen Freunde: John. John wenig wahrgenom- men.

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This area of mathematics is part of the foundation of topology and is still being applied in novel ways to mathematical physics. In , Gauss asked his student Riemann to prepare a Habilitationsschrift on the foundations of geometry.

Over many months, Riemann developed his theory of higher dimensions and delivered his lecture at Göttingen in entitled " Ueber die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen " " On the hypotheses which underlie geometry ".

It was only published twelve years later in by Dedekind, two years after his death. Its early reception appears to have been slow but it is now recognized as one of the most important works in geometry.

The subject founded by this work is Riemannian geometry. Riemann found the correct way to extend into n dimensions the differential geometry of surfaces, which Gauss himself proved in his theorema egregium.

The fundamental object is called the Riemann curvature tensor. For the surface case, this can be reduced to a number scalar , positive, negative, or zero; the non-zero and constant cases being models of the known non-Euclidean geometries.

Riemann's idea was to introduce a collection of numbers at every point in space i. Riemann found that in four spatial dimensions, one needs a collection of ten numbers at each point to describe the properties of a manifold , no matter how distorted it is.

This is the famous construction central to his geometry, known now as a Riemannian metric. In his dissertation, he established a geometric foundation for complex analysis through Riemann surfaces , through which multi-valued functions like the logarithm with infinitely many sheets or the square root with two sheets could become one-to-one functions.

Complex functions are harmonic functions that is, they satisfy Laplace's equation and thus the Cauchy—Riemann equations on these surfaces and are described by the location of their singularities and the topology of the surfaces.

His contributions to this area are numerous. The famous Riemann mapping theorem says that a simply connected domain in the complex plane is "biholomorphically equivalent" i.

Here, too, rigorous proofs were first given after the development of richer mathematical tools in this case, topology. For the proof of the existence of functions on Riemann surfaces he used a minimality condition, which he called the Dirichlet principle.

Karl Weierstrass found a gap in the proof: Riemann had not noticed that his working assumption that the minimum existed might not work; the function space might not be complete, and therefore the existence of a minimum was not guaranteed.

Through the work of David Hilbert in the Calculus of Variations, the Dirichlet principle was finally established.

Otherwise, Weierstrass was very impressed with Riemann, especially with his theory of abelian functions. When Riemann's work appeared, Weierstrass withdrew his paper from Crelle's Journal and did not publish it.

They had a good understanding when Riemann visited him in Berlin in Weierstrass encouraged his student Hermann Amandus Schwarz to find alternatives to the Dirichlet principle in complex analysis, in which he was successful.

An anecdote from Arnold Sommerfeld [10] shows the difficulties which contemporary mathematicians had with Riemann's new ideas.

In , Weierstrass had taken Riemann's dissertation with him on a holiday to Rigi and complained that it was hard to understand.

The physicist Hermann von Helmholtz assisted him in the work over night and returned with the comment that it was "natural" and "very understandable".

Other highlights include his work on abelian functions and theta functions on Riemann surfaces. Riemann had been in a competition with Weierstrass since to solve the Jacobian inverse problems for abelian integrals, a generalization of elliptic integrals.

Riemann used theta functions in several variables and reduced the problem to the determination of the zeros of these theta functions. Riemann also investigated period matrices and characterized them through the "Riemannian period relations" symmetric, real part negative.

Many mathematicians such as Alfred Clebsch furthered Riemann's work on algebraic curves. These theories depended on the properties of a function defined on Riemann surfaces.

For example, the Riemann—Roch theorem Roch was a student of Riemann says something about the number of linearly independent differentials with known conditions on the zeros and poles of a Riemann surface.

According to Detlef Laugwitz , [11] automorphic functions appeared for the first time in an essay about the Laplace equation on electrically charged cylinders.

Riemann however used such functions for conformal maps such as mapping topological triangles to the circle in his lecture on hypergeometric functions or in his treatise on minimal surfaces.

In the field of real analysis , he discovered the Riemann integral in his habilitation. Among other things, he showed that every piecewise continuous function is integrable.

Similarly, the Stieltjes integral goes back to the Göttinger mathematician, and so they are named together the Riemann—Stieltjes integral.

In his habilitation work on Fourier series , where he followed the work of his teacher Dirichlet, he showed that Riemann-integrable functions are "representable" by Fourier series.

Dirichlet has shown this for continuous, piecewise-differentiable functions thus with countably many non-differentiable points.

Riemann gave an example of a Fourier series representing a continuous, almost nowhere-differentiable function, a case not covered by Dirichlet.

Riemann's essay was also the starting point for Georg Cantor 's work with Fourier series, which was the impetus for set theory. But opting out of some of these cookies may have an effect on your browsing experience.

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Riemann gave an example of a Fourier series representing a continuous, almost nowhere-differentiable function, a case not covered by Dirichlet.

Riemann's essay was also the starting point for Georg Cantor 's work with Fourier series, which was the impetus for set theory. He also worked with hypergeometric differential equations in using complex analytical methods and presented the solutions through the behavior of closed paths about singularities described by the monodromy matrix.

In return for his work for the nation, both in training medical staff and his ongoing work on infectious diseases, he was awarded the Order of the Cedar.

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From Wikipedia, the free encyclopedia. Hobart Reimann. Buffalo, N. Wynnewood, PA. Dorothy Sampson m. Cecilia Bobb m. A disease entity probably caused by a filtrable virus.

Jefferson Digital Commons. Horsham Times Vic. Retrieved New York Times. May 24, Clinical Infectious Diseases.

Oxford University Press. Science Digest, Incorporated. January 20, Metabolic Medicine and Surgery. CRC Press.

Exhibit Antibiotics: Summary of Dr. Hobart A. Reimann's comments prior to his testimony, as published in JAMA, and subsequent editorial on use and misuse of antibiotics as printed in the same journal.

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